จำนวนเชิงซ้อนเกิดจากการแก้สมการพหุนามกำลังสอง ที่ไม่สามารถหาคำตอบที่เป็นจำนวนจริงได้ 

จำนวนเชิงซ้อน (Complex Number)

ระบบจำนวนเลขเท่าที่มนุษย์คิดค้นพบในขณะนี้ประกอบด้วยเลขจำนวน 2 ระบบ คือ

1. ระบบจำนวนจริง (Real Number System)

2. ระบบจำนวนเชิงซ้อนประเภทจินตภาพ (Imaginary Number System)

สรุปเป็นแผนภูมิได้ดังนี้

จำนวนเชิงซ้อน

ระบบจำนวนจริง ระบบจำนวนจินตภาพ

จำนวนตรรกยะ จำนวนอตรรกยะ

จำนวนเต็ม จำนวนเศษส่วน

จำนวนเต็มลบ จำนวนเต็มศูนย์ จำนวนเต็มบวก

1. จำนวนจินตภาพ (Imaginary Number) เป็นจำนวนที่เกิดจากนักคณิตศาสตร์

พยายามแก้ไขปัญหาในค่า x จากสมการ x2 + 1 = 0

x2 = -1

x =  - 1

แต่เนื่องจาก- 1 มิใช่จำนวนจริง นักคณิตศาสตร์จึงตั้งชื่อจำนวนจริงลบที่อยู่ในเครื่องหมาย  ว่าจำนวนจินตภาพและใช้สัญลักษณ์ i แทน -1

ดังนั้น i2 = -1

2. จำนวนตรรกยะ (Rational Number) คือ จำนวนที่สามารถเขียนในรูปเศษส่วน

a/b เมื่อ a และ b เป็นจำนวนเต็มโดยที่ b 0 จำนวนตรรกยะ จำแนกได้เป็น 3 ประเภทใหญ่ ๆ คือ

1. จำนวนเต็ม (Integer)

2. เศษส่วน (Fraction)

3. ทศนิยม (Repeating decimal)

3. จำนวนอตรรกยะ (irrational Number) คือ จำนวนที่ไม่สามารถเขียนในรูปเศษ

ส่วน a/b เมื่อ a และ b เป็นจำนวนเต็มโดยที่ b 0 หรือจำนวน

อตรรกยะคือ จำนวนที่ไม่ใช่จำนวนตรรกยะนั่นเอง จำนวนอตรรกยะ จำแนกได้เป็น 2 ประเภทใหญ่ใหญ่คือ

1. จำนวนติดกรณ์บางจำนวนเช่น เป็นต้น

2. จำนวนทศนิยมไม่ซ้ำเช่น 5.18118168473465

หมายเหตุ  ซึ่งประมาณได้ด้วย 22/7 แต่จริงๆ แล้วเป็นเลข

อตรรกยะ

สิ่งที่ควรทราบ

 

จำนวนจริงทุกจำนวนสามารถแทนได้ด้วยจุดบนเส้นจำนวน

4. จำนวนเชิงซ้อน(Complex Number) เขียนแทนด้วย z โดยที่ z = (a,b)

จะได้ว่า z = a + bi เมื่อ i = -1 i2 = -1

 

เรียก a ว่า เป็นส่วนจำนวนจริงของจำนวนเชิงซ้อน z

b ว่า เป็นส่วนจินตภาพของจำนวนเชิงซ้อน z

4.1 การเท่ากันของจำนวนเชิงซ้อน

ให้ z1 = a + bi และ z2 = c + di

ดังนั้น z1 = z2 ก็ต่อเมื่อ a = c และ b = d

4.2 การบวกจำนวนเชิงซ้อน

ให้ z1 = a + bi และ z2 = c + di

ดังนั้น z1 + z2 = (a+c) + (b+d)i

4.3 การคูณจำนวนเชิงซ้อนด้วยจำนวนจริง

ให้ z1 = a + bi และ k เป็น จำนวนจริง

kz = ka + kbi

4.4 การคูณจำนวนเชิงซ้อนด้วยจำนวนเชิงซ้อน

ให้ z1 = a + bi และ z2 = c + di

z1 z2 = (a + bi)( c + di) = (ac - bd , ad+bc)

ตัวอย่าง จงหาผลคูณของ 3 + 4i กับ 2 + i

วิธีทำ (3 + 4i)( 2 + i ) = 6 +3i + 8i + 4i2

= 6 + 11i - 4 = 2 + 11i

4.5 คอนจูเกต(conjugate) ของจำนวนเชิงซ้อน แทนด้วย z

ถ้า z = a + bi แล้ว z = a - bi

4.6 การแก้สมการที่ผลลัพธ์เป็นจำนวนเชิงซ้อน

สมการอยู่ในรูป ax2 + bx + c = 0 เมื่อ a  0

ในกรณีนี้ให้ใช้สูตร

x = - b   b2 - 4ac

2a

4.7 ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อน a + bi

ให้ z = a + bi ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อนของ z คือ

z =  a2 + b2

ทดสอบความเข้าใจ

ข้อ 1. ถ้า Z = (3+2 -5)(3--5) แล้ว Z มีค่าเท่ากับข้อใด-5i

ข้อ 2. รากของสมการ X4 - 2X3 + 12X2 - 8X + 32 = 0 คืออะไร

เฉลย

ข้อ 1. ตอบ Z = -35 - 19 i

5 5

ข้อ 2. ตอบ X =  2i หรือ X = 1 7 i

< ย้อนกลับ		ถัดไป >